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日志

 
 

罗素悖论赏析  

2016-09-21 18:37:53|  分类: 名家精品 |  标签: |举报 |字号 订阅

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理发师悖论

        在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人。可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸。
        理发师悖论与罗素悖论是等价的:如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么,理发师宣称,他的元素,都是城里不属于自身的那些集合,并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
        罗素悖论影响
        十九世纪下半叶,德国数学家
康托尔创立了著名的集合论,在集合论刚产生时,曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。
        1903年,一个震惊数学界的消息传出:集合论是有漏洞的!这就是英国数学家
罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合论产生了危机。它非常浅显易懂,而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以,罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时,收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现,自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道:“一个科学家所碰到的最倒霉的事,莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
       
公理化集合论的建立,成功排除了集合论中出现的悖论,从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面,罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前,导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争,形成了现代数学史上著名的三大数学流派,而各派的工作又都促进了数学的大发展。于是,数学的基础被动摇了,这就是所谓的第三次数学危机
        罗素的悖论发表之后,接着又发现一系列悖论(后来归入所谓语义悖论):
        悖论的解决 
        罗素构造了一个集合S:S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问:s是否属于S呢?根据排中律,一个元素或者属于某个集合,或者不属于某个集合。因此,对于一个给定集合,问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S,根据S的定义,s就不属于S;反之,如果s不属于S,同样根据定义,s就属于S。无论如何都是矛盾的。
        罗素悖论提出后,数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造,通过对集合定义加以限制来排除悖论,这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄,以保证排除一切矛盾;另一方面又必须充分广阔,使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论主要有两种选择,
ZF公理系统NBG公理系统
        1908年,策梅罗(Ernst Zermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系,后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔
朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过弗兰克尔(Abraham Fraenkel)的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中,由于分类公理(Axiom schema of specification):P(x)是x的一个性质,对任意已知集合A,存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x);因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合,由于它并不是任何已知集合的子集;并且通过该公理,存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的,因此罗素悖论在该系统中被避免了。
        除ZF系统外,集合论的公理系统还有多种,如冯·诺伊曼(von Neumann)等人提出的NBG系统等。在该公理系统中,所有包含集合的"collection"都能被称为类(class),凡是集合也能被称为类,但是某些 collection太大了(比如一个collection包含所有集合)以至于不能是一个集合,因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。

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