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艺海拾贝

路慢慢其修远兮,吾将上下而求索。

 
 
 

日志

 
 

数学王子轶事  

2013-12-21 15:29:36|  分类: 智力趣题 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数学王子轶事 - 艺海拾贝 - czjrxjflcx的博客

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 1796年的一天,德国哥廷根大学,一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上:要求只用圆规和一把没有刻度的直尺,画出一个正17边形。
       他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了,第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁,但他发现,自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。困难反而激起了他的斗志:我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺,他一边思索一边在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时,青年长舒了一口气,他终于完成了这道难题。见到导师时,青年有些内疚和自责。他对导师说:“您给我布置的第三道题,我竟然做了整整一个通宵,我辜负了您对我的栽培……”
       导师接过学生的作业一看,当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说:这是你自己做出来的吗?青年有些疑惑地看着导师,回答道:是我做的。但是,我花了整整一个通宵。导师请他坐下,取出圆规和直尺,在书桌上铺开纸,让他当着自己的面再做出一个正17边形。青年很快做出了一个正17边形。导师激动地对他说:你知不知道?你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案!阿基米德没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才!
       原来,导师也一直想解开这道难题。那天,他是因为失误,才将写有这道题目的纸条交给了学生。每当这位青年回忆起这一幕时,总是说:“如果有人告诉我,这是一道有两千多年历史的数学难题,我可能永远也没有信心将它解出来”。这位青年就是数学王子高斯。有些事情,在不清楚它到底有多难时,我们往往能够做得更好,这就是人们常说的无知者无畏。
       高斯用代数的方法解决的,他也视此为生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上,但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正十七边形和圆太像了,大家一定分辨不出来。
       1801年,
高斯证明:如果k是费马数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形,解决了两千年来悬而未决的难题。

       最早的十七边形画法创造人是高斯高斯(1777─1855年)德国数学家、物理学家和天文学家。高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才。年仅三岁,就学会了算术,八岁因运用等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件。解决了两千年来悬而未决的难题,1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位。高斯的数学成就遍及各个领域,在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义。并在天文学,大地测量学磁学的研究中都有杰出的贡献。
下附正十七边形作法:
先计算或作出cos(360°/17)
设正17边形中心角为a,则17a=360°,即16a=360°-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等于0,两边除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a(
三角函数积化和差公式)等
注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a(
诱导公式)等,有
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1

x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
经计算知xy=-1
因而:x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4
其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+√17)/4
y1+y2=(-1-√17)/4
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
2
步骤一
给一圆O,作两垂直的半径OA、OB,
在OB上作C点使OC=1/4OB,
在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA  作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。

数学王子趣事 - 艺海拾贝 - czjrxjflcx的博客

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正十七边形尺规作图[1]

3步骤二
作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,
此圆交OB于F点,再以D为
圆心,作一圆
过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点。
4
步骤三
过G4作OA垂直线交圆O于P4,
过G6作OA垂直线交圆O于P6,
则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点,P6为第六顶点。
以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶
点。
5
简易作法
因为360°/17≈21°10′ ,利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。用该方法作正十七边形总误差为17*4′=68′,在不要求十分精确的情况下还是可行的。 作法如下:
1.先画一条直线,用圆规在上面截取5条相等线段,(尽量越短越好),再截取之前四条线段的和,接续之前画的线段。这样,如果每条小线段算作0.1的话,那么整条线段就是1.8。
2.用圆规截取之前5条小线段的长,画5次,这样这条线段就是5。1.8/5=0.36。准备工作完毕!
3.另作一条直线,作垂线,1.8的线段作为对边,5的线段作为斜边
那个最小的锐角即是近似的360°/17的角。以其顶点为圆心,重复作角直至闭合。画一大圆,连接其与17条射线的交点,即可。

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